线代笔记（自）

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103 词

线性代数

目录

第一章 行列式

1.0 符号定义

  • 或 ：方阵 ：变换 的像（值域）。

6.1 基本概念

  • 线性空间（规则统一的游乐场）：
    • 只要满足“加法”和“数乘”规则的集合都是线性空间。
    • 比如：所有的 2D 向量、所有的多项式、所有的连续函数。
    • 直观理解：只要你在场子里玩，怎么加、怎么翻倍，都不会飞出场外。
  • 线性变换（诚实的映射）：
    • 一种保持“线性”的变换。
    • 直观理解：它很诚实，不会把直线变弯，也不会把原点挪走。
  • 核 (Kernel) 与像 (Image)：
    • 核：变换后被“变没了”（变成 0）的那些向量。
    • 像：变换后能“到达”的所有地方。
  • 维数定理（能量守恒）：
    • 变没了的维度 + 剩下来的维度 = 初始的总维度。
    • 比如你把一个 3D 空间压成了一个 2D 的面，那么“核”的维度就是 1（损失了 1 维），“像”的维度就是 2。。

6.2 核心公式与知识点扩写

$$
\begin{aligned}
&\textbf{1. 线性空间的定义}\
&\forall u,v,w\in V,\ \forall a,b\in\mathbb{F} \implies u+v \in V, \ au \in V \text{ (且满足八条算律)}.\
&\text{\small 知识点：线性空间不仅限于 维向量，多项式、矩阵、连续函数等只要满足运算封闭和算律，都是线性空间。}\
&\textbf{2. 子空间与线性生成}\
&W\subseteq V \text{ 是子空间} \iff \text{对加法和数乘封闭};\quad \operatorname{Span}(S) = { \sum a_i v_i }.\
&\text{\small 知识点：子空间是包含在原空间内的“小”线性空间。 是由集合 线性组合出的最小子空间。}\
&\textbf{3. 基与坐标}\
&x = \sum_{i=1}^{n}\xi_i v_i \iff [x]{\mathcal{B}} = (\xi_1, \dots, \xi_n)^\mathsf{T}.\
&\text{\small 知识点：基是空间的“骨架”，坐标是向量在骨架上的投影。基一旦选定，向量与坐标一一对应。}\
&\textbf{4. 过渡矩阵（换基公式）}\
&[x]{\mathcal{B}’}=T_{\mathcal{B}’\leftarrow\mathcal{B}},[x]{\mathcal{B}},\qquad T{\mathcal{B}’\leftarrow\mathcal{B}} = ([v_1]{\mathcal{B}’}, \dots, [v_n]{\mathcal{B}’}).\
&\text{\small 知识点：过渡矩阵描述了从旧基到新基的转换关系。注意下标顺序：新基向量在旧基下的坐标构成过渡矩阵。}\
&\textbf{5. 线性变换的定义}\
&T(ax+by)=aT(x)+bT(y).\
&\text{\small 知识点：线性变换保持空间的线性结构。原点在变换后依然是原点，直线变换后依然是直线（或点）。}\
&\textbf{6. 核 (Kernel) 与像 (Image)}\
&\operatorname{Ker}(T)={x: T(x)=0},\qquad \operatorname{Im}(T)={T(x)}.\
&\text{\small 知识点：核对应齐次方程组的解空间，像对应矩阵的列空间。核越小，变换越接近单射。}\
&\textbf{7. 维数定理（秩-零度定理）}\
&\dim \operatorname{Ker}(T) + \dim \operatorname{Im}(T) = \dim V.\
&\text{\small 知识点：这是线性变换最重要的定理。它说明了变换的“压缩量”与“保留量”之和等于原空间的维数。}\
&\textbf{8. 线性变换的矩阵表示}\
&[T(x)]{\mathcal{B}W} = A [x]{\mathcal{B}V},\qquad A = ([T(v_1)]{\mathcal{B}W}, \dots, [T(v_n)]{\mathcal{B}W}).\
&\text{\small 知识点：线性变换可以用矩阵乘法来模拟。矩阵的每一列是基向量变换后的坐标。}\
&\textbf{9. 矩阵相似与线性算子}\
&A’ = P^{-1}AP \quad (P \text{ 为过渡矩阵}).\
&\text{\small 知识点：同一个线性算子在不同基下的矩阵是相似的。相似变换本质上就是“换个视角看同一个变换”。}\
&\textbf{10. 坐标变换公式}\
&[x]{\mathcal{B}} = P [x]{\mathcal{B}’} \quad (P \text{ 为从 } \mathcal{B} \text{ 到 } \mathcal{B}’ \text{ 的过渡矩阵}).\
&\text{\small 知识点：注意坐标变换与基变换的方向是相反的。}
\end{aligned}
$$

补充：子空间/基扩充/基替换

$$
\begin{aligned}
&\textbf{基扩充定理（扩充为一组基）：}\quad
{u_1,\dots,u_r}\ \text{线性无关}\ \Rightarrow
\exists,u_{r+1},\dots,u_n:\ (u_1,\dots,u_n)\ \text{是 }V\text{ 的一组基}.\
&\textbf{基的等势性：}\quad
V\ \text{有限维}\ \Rightarrow\ \text{任意两组基所含向量个数相同}=\dim V.\
&\textbf{子空间的维数上界：}\quad
W\le V\ \Rightarrow\ \dim W\le \dim V,\qquad
\dim W=\dim V\ \Rightarrow\ W=V.\
&\textbf{子空间基的扩充：}\quad
W\le V,\ \dim W=r,\ \dim V=n\
&\hspace{6.2em}\Rightarrow
\exists\ \text{基 }\mathcal{B}W=(w_1,\dots,w_r),\
\exists\ v{r+1},\dots,v_n:\ (w_1,\dots,w_r,v_{r+1},\dots,v_n)\ \text{为 }V\text{ 的基}.\
&\textbf{基替换定理（Steinitz 交换引理的常用结论）：}\quad
(v_1,\dots,v_n)\ \text{为 }V\text{ 的基},\
u\in V,\ u\ne 0\
&\hspace{6.2em}\Rightarrow
\exists,j:\ u=\sum_{i=1}^{n}a_i v_i,\ a_j\ne 0,\
(v_1,\dots,v_{j-1},u,v_{j+1},\dots,v_n)\ \text{仍为基}.\
&\textbf{子空间和/交的维数公式（再次强调）：}\quad
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).\
&\textbf{直和判别：}\quad
V=U\oplus W\ \Longleftrightarrow\ V=U+W\ \land\ U\cap W={0}\
&\hspace{6.2em}\Longleftrightarrow\ \dim V=\dim U+\dim W\ \land\ V=U+W.\
&\textbf{和空间的基构造（直和情形）：}\quad
U\cap W={0},\ \mathcal{B}U=(u_1,\dots,u_p),\ \mathcal{B}W=(w_1,\dots,w_q)\
&\hspace{6.2em}\Rightarrow
(u_1,\dots,u_p,w_1,\dots,w_q)\ \text{是 }U\oplus W\text{ 的一组基},\
\dim(U\oplus W)=p+q.\
&\textbf{维数与线性无关/生成（同济常用三句等价）：}\quad
\dim V=n\Rightarrow
任意个线性无关向量必为一组基任意能生成的个向量必为一组基任意个向量必线性相关\
&\textbf{坐标与过渡矩阵再压缩：}\quad
\mathcal{B},\mathcal{B}’\ \text{为 }V\text{ 两组基},\
[x]{\mathcal{B}’}=T{\mathcal{B}’\leftarrow\mathcal{B}}[x]{\mathcal{B}},\
T{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{B}’}=\big(T_{\mathcal{B}’\leftarrow\mathcal{B}}\big)^{-1}.\
&\textbf{矩阵的列向量与空间维数（极常用）：}\quad
A\in\mathbb{F}^{m\times n},\
\operatorname{Col}(A)=\operatorname{Span}(\text{列向量}),\
\dim\operatorname{Col}(A)=\operatorname{rank}(A).\
&\textbf{零空间维数（再压缩）：}\quad
\operatorname{Null}(A)={x:Ax=0},\qquad
\dim\operatorname{Null}(A)=n-\operatorname{rank}(A).\
&\textbf{线性变换的秩与零度：}\quad
T:V\to W,\
\operatorname{rank}(T):=\dim\operatorname{Im}(T),\
\operatorname{nullity}(T):=\dim\operatorname{Ker}(T),\
&\hspace{6.2em}
\dim V=\operatorname{rank}(T)+\operatorname{nullity}(T).\
&\textbf{线性变换的矩阵秩：}\quad
A=[T]_{\mathcal{B}_W\leftarrow\mathcal{B}_V}
\Rightarrow
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(T)=\dim\operatorname{Im}(T),\quad
\dim\operatorname{Ker}(T)=n-\operatorname{rank}(A).
\end{aligned}
$$

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