线代笔记（自）

这份笔记本来是期末复习用的（同济版六章），重写时每条定理都补上”为什么”和机器人工程落点。因为学完线代你马上会撞上：旋转矩阵、雅可比、惯性张量、最小二乘标定、SVD、李雅普诺夫稳定性——全是线代。所有 numpy 代码可直接运行。

这门课在机器人里到底用在哪

线代概念	机器人落点
矩阵乘法	坐标变换复合：$T_{AC} = T_{AB}T_{BC}$
正交矩阵	旋转矩阵 $R$，$R^TR = I$
秩	雅可比矩阵降秩 = 奇异位形，IK 失效
特征值	线性系统稳定性、模态分析
二次型/正定	惯性张量主轴、李雅普诺夫函数 $V = x^TPx$
SVD/伪逆	最小二乘标定、阻尼最小二乘 IK
基变换	坐标系之间的坐标转换

第一章 行列式：面积、体积与”为什么不用克拉默”

定义回顾：$n$ 阶行列式是所有排列的带符号乘积之和（逆序数定号），按行展开（代数余子式）是递归计算。几何意义：二阶行列式是平行四边形的有向面积，三阶是有向体积——这是理解”行列式为 0 ⇔ 退化”的关键：面积/体积被压成 0，说明行向量线性相关。

为什么工程上没人用克拉默法则解方程组？ 克拉默 $x_i = \det(A_i)/\det(A)$ 需要算 $n+1$ 个行列式，每个行列式按定义展开是 $O(n!)$。$n=20$ 时 $20! \approx 2.4\times10^{18}$ 次乘法，超算也扛不住。高斯消元 $O(n^3)$，$n=20$ 只要 8000 次。克拉默的价值在理论上（解的存在唯一性），不在计算上。

考试要点：① 某行乘 $k$，行列式乘 $k$（不是乘 $k^n$）；② 两行互换变号；③ 某行 $\times k$ 加到另一行，值不变；④ $\det(AB)=\det A\det B$，但 $\det(A+B) \ne \det A + \det B$；⑤ 范德蒙德行列式。

工程判断奇异：别用 det，用条件数：

import numpy as np
A_ill = np.array([[1.0, 1.0], [1.0, 1.0 + 1e-12]])
print(np.linalg.det(A_ill))    # 1.0e-12，看起来"接近奇异"
print(np.linalg.cond(A_ill))   # 4.0e12，真实病态程度
A_ok = np.array([[1.0, 2.0], [3.0, 4.0]])
print(np.linalg.cond(1e6*A_ok))  # 14.93，和 cond(A_ok) 相同！

det 有两个致命问题：尺度依赖（$\det(kA)=k^n\det A$，放大 100 万倍行列式爆炸但矩阵没变病态）和溢出/下溢。条件数 $\kappa(A)=|A||A^{-1}|$ 尺度不变，$\kappa$ 越大解越脆弱：解的相对误差 ≤ $\kappa \times$ 数据的相对误差。

第二章 矩阵：乘法是复合，旋转矩阵是正交矩阵

矩阵乘法为什么那样定义？ 因为矩阵表示线性映射，$(AB)x = A(Bx)$——先做 B 变换再做 A 变换。这个定义不是拍脑袋，是”映射复合”的坐标表达。所以矩阵乘法不可交换（先旋转再平移 ≠ 先平移再旋转），但可结合（$(AB)C = A(BC)$），结合律对应”复合的顺序不因加括号改变”。

逆矩阵：方阵 $A$ 可逆 ⇔ $\det A \ne 0$ ⇔ 列向量线性无关 ⇔ $Ax=0$ 只有零解。左逆 = 右逆（方阵才成立）。

旋转矩阵与正交矩阵（考试 + 工程双重点）：$R$ 是正交矩阵 $\iff R^TR = I \iff$ 列向量是标准正交基。旋转矩阵还满足 $\det R = 1$（保向）。验证代码：

th = np.pi/3
R = np.array([[np.cos(th), -np.sin(th)], [np.sin(th), np.cos(th)]])
print(R.T @ R)          # 单位阵
print(np.linalg.det(R)) # 1.0

三维里旋转矩阵构成 SO(3)，齐次变换矩阵是 4×4 分块 $\begin{bmatrix} R & t \ 0 & 1 \end{bmatrix}$，逆为 $\begin{bmatrix} R^T & -R^Tt \ 0 & 1 \end{bmatrix}$——正交矩阵求逆 = 转置，这是机器人里坐标变换最快的运算。

分块矩阵：$\begin{bmatrix} A & B \ 0 & D \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & -A^{-1}BD^{-1} \ 0 & D^{-1} \end{bmatrix}$（$A,D$ 可逆）。工程里大稀疏系统（SLAM 的信息矩阵）都是块结构，分块求逆比整体求逆省一个数量级。

第三章 初等变换与方程组：秩与最小二乘

高斯消元就是反复做行初等变换（换行、倍乘、倍加），把增广矩阵化成行阶梯形。秩 = 行阶梯形非零行数 = 行/列向量组张成空间的维数。

解的结构（秩的语言）：

• $Ax=b$ 有解 ⇔ $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}([A|b])$；
• 有解时：$\mathrm{rank}(A) = n$（未知数个数）→ 唯一解；$\mathrm{rank}(A) < n$ → 无穷多解，通解 = 一个特解 + 齐次解空间（自由变量个数 = $n - \mathrm{rank}(A)$）。

工程场景：超定方程组没有精确解。标定、传感器融合都是”方程比未知数多”：$A \in \mathbb{R}^{m\times n}, m > n$。此时求最小二乘解 $\min_x |Ax - b|_2$：

A = np.array([[1., 1.], [1., 2.], [1., 3.], [1., 4.]])
b = np.array([1.1, 1.9, 3.2, 3.9])
x_ne  = np.linalg.solve(A.T @ A, A.T @ b)          # 法方程
Q, R  = np.linalg.qr(A)
x_qr  = np.linalg.solve(R[:2, :2], (Q.T @ b)[:2])  # QR
x_svd = np.linalg.pinv(A) @ b                      # SVD 伪逆
x_ls, *_ = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)       # 工程首选
# 四种方法结果一致：[0.1, 0.97]

为什么不用法方程 $A^TAx = A^Tb$？ 因为 $\kappa(A^TA) = \kappa(A)^2$——条件数平方，直接丢一半有效数字。实测：$\kappa(A_2)=2.4\times10^8$ 的矩阵，$\kappa(A_2^TA_2)=4.5\times10^{16}$，double 精度下法方程已经废了。工程上解最小二乘用 QR 或 SVD（np.linalg.lstsq 内部就是 SVD），法方程只配出现在考试里。

第四章 向量组：线性相关与雅可比奇异

几何意义：线性相关 = 有向量”多余”（共线/共面），能被其余向量线性表出；线性无关 = 谁都不可或缺。秩 = 向量组张成空间的维数，最大无关组就是”张成同一空间的最少向量”。n 维空间里任意 $n+1$ 个向量必线性相关——这就是为什么 3 维空间里 4 个点必共面（退化情形）。

考试三句等价（$n$ 个 $n$ 维向量）：线性无关 ⇔ 行列式非零 ⇔ 秩为 $n$。

工程落点：雅可比矩阵的秩 = 机器人的奇异位形。机械臂速度映射 $\dot{p} = J(q)\dot{q}$，$J$ 是 $m\times n$ 矩阵，其列向量就是各关节单位速度引起的末端速度。当某列线性相关（比如二连杆完全伸直），$J$ 降秩：

def jacobian(q1, q2):  # 二连杆，单位杆长
    c1, s1 = np.cos(q1), np.sin(q1)
    c12, s12 = np.cos(q1+q2), np.sin(q1+q2)
    return np.array([[-s1 - s12, -s12], [c1 + c12, c12]])

J_good = jacobian(0.5, 1.0)      # 正常位形
J_sing = jacobian(0.0, 0.0)      # 完全伸直
print(np.linalg.matrix_rank(J_good), np.linalg.svd(J_good, compute_uv=False))  # 2, [1.97 0.43]
print(np.linalg.matrix_rank(J_sing), np.linalg.svd(J_sing, compute_uv=False))  # 1, [2.24 0.  ]

伸直位形第二个奇异值 = 0，末端沿径向的速度方向无法实现，且 $\dot{q} = J^{-1}\dot{p}$ 在该方向爆炸（$\kappa \to \infty$）。工程处理：阻尼最小二乘 $\dot{q} = J^T(JJ^T + \lambda^2 I)^{-1}\dot{p}$，加正则项 $\lambda^2$ 把奇异值下限抬到 $\lambda$，用微小精度损失换掉速度爆炸——本质就是 SVD 里”奇异值截断 + 正则化”的思想。

第五章 相似矩阵与二次型：特征值、主轴与稳定性

特征值/特征向量的几何意义：$Av = \lambda v$——变换 $A$ 作用在 $v$ 上方向不变、只伸缩 $\lambda$ 倍。特征向量是变换的”不动方向”，特征值是沿该方向的增益。求法：特征方程 $\det(\lambda I - A) = 0$。

相似：$B = P^{-1}AP$——同一个线性变换在不同基下的矩阵。相似矩阵特征值相同（特征多项式相同），所以特征值是变换的内禀属性，与坐标系无关。

实对称矩阵必可正交对角化：$A = Q\Lambda Q^T$，$Q$ 正交（$Q^TQ=I$），不同特征值对应的特征向量自动正交。这是二次型能化简的根本原因。惯性张量对角化就是主轴定理：刚体的惯性张量 $I$ 是实对称矩阵，正交对角化后得到三个主惯量，对应的正交方向叫主轴——绕主轴旋转时惯性积为零，没有陀螺力矩。这就是云台/飞轮设计要尽量让旋转轴对准主轴的物理原因（不对称转子的陀螺效应会让云台晃动、让电机多扛一个交变力矩）。代码：

I_plate = np.array([[4.0, -3.0, 0.0], [-3.0, 6.0, 0.0], [0.0, 0.0, 10.0]])
evals, evecs = np.linalg.eigh(I_plate)   # 对称矩阵用 eigh，保证实特征值
print(evals)                             # 主惯量 [1.84 8.16 10. ]
print(evecs.T @ I_plate @ evecs)         # 主轴上退化为对角阵
print(evecs.T @ evecs)                   # 正交性：单位阵

正定二次型与稳定性：$x^TAx > 0$（$A$ 正定）⇔ 全部顺序主子式 > 0（Sylvester 判据）⇔ 全部特征值 > 0。控制里最经典的用法是李雅普诺夫函数 $V(x) = x^TPx$（$P$ 正定对称）：若沿系统轨迹 $\dot{V} < 0$，能量单调下降，系统稳定。对线性系统 $A$ 稳定 ⇔ 李雅普诺夫方程 $A^TP + PA = -Q$（$Q$ 正定）有正定解 $P$：

A_sys = np.array([[0., 1.], [-2., -3.]])
Q = np.eye(2)
P = np.linalg.solve(np.kron(np.eye(2), A_sys.T) + np.kron(A_sys.T, np.eye(2)), -Q.ravel()).reshape(2, 2)
P = (P + P.T) / 2
print(np.linalg.eigvalsh(P))   # [0.19 1.31] 全正 → A 稳定

这直接连着 PID/状态反馈文章里的稳定性分析——“系统稳不稳”在线代里就是”某个二次型矩阵正不正定”。

SVD 预告（研究生/工程前置）：$A = U\Sigma V^T$ 对任意（含非方阵）矩阵成立，奇异值 $\sigma_i$ 是 $A^TA$ 特征值的平方根——特征值是方阵的专属，奇异值是它的推广。伪逆 $A^+ = V\Sigma^+U^T$ 统一了最小二乘（超定）和最小范数解（欠定），PCA 就是协方差矩阵的特征分解。SLAM、标定、IK 全在这上面。

第六章 线性空间与线性变换：基变换就是坐标变换

线性空间：满足加法/数乘封闭 + 八条算律的集合。不只是 $\mathbb{R}^n$——多项式、$n\times n$ 矩阵、连续函数都是线性空间。子空间：对运算封闭的子集（比如过原点的平面）。基：线性无关且能张成全空间的最大向量组，向量个数 = 维数 $\dim V$。坐标：$x$ 在基 $\mathcal{B}$ 下的坐标 $[x]_\mathcal{B}$ 是线性组合系数。

过渡矩阵（考试核心）：从基 $\mathcal{B}$ 到基 $\mathcal{B}’$ 的过渡矩阵 $T$，第 $j$ 列 = 旧基向量 $v_j$ 在新基下的坐标。坐标变换：

$$[x]{\mathcal{B}’} = T{\mathcal{B}’\leftarrow\mathcal{B}},[x]_\mathcal{B}$$

最大的坑是方向：基变换和坐标变换方向相反——基向量”变长 2 倍”，同一向量的坐标”缩成 1/2”：

B = np.array([[2., 0.], [0., 3.]])   # 新基：标准基沿 x,y 拉长 2、3 倍
x_std = np.array([1., 1.])
x_new = np.linalg.solve(B, x_std)    # 坐标 [0.5, 1/3]——方向相反！
print(B @ x_new)                     # 还原 [1., 1.]

这就是机器人坐标系变换的本质：{B} 系相对 {A} 系的位姿（旋转矩阵 $R$ + 平移 $t$）就是过渡矩阵，$p_A = R,p_B + t$ 就是在做基变换。核 $\mathrm{Ker}(T)$（被打成零的向量）与像 $\mathrm{Im}(T)$（能到达的所有地方）对应齐次方程组解空间和列空间；维数定理 $\dim\mathrm{Ker}(T) + \dim\mathrm{Im}(T) = \dim V$——“变没了的维度 + 剩下来的维度 = 总维度”，是全书最漂亮的守恒律，也是秩-零度定理。

补充：子空间/基扩充/基替换（考试速查）

• 基扩充定理：$u_1,\dots,u_r$ 线性无关 ⇒ 可补成 $V$ 的一组基（补 $n-r$ 个向量）；
• 基替换（Steinitz 交换引理）：基中任一向量可用非零向量 $u$ 替换（只要 $u$ 在基下的坐标对应分量非零），仍是基；
• 维数公式：$\dim(U+W) = \dim U + \dim W - \dim(U\cap W)$；
• 直和：$V = U \oplus W \iff U \cap W = {0}$ 且 $V = U + W$，此时 $\dim V = \dim U + \dim W$，两组基拼起来就是 $V$ 的基；
• 等价命题：$\dim V = n$ 时，”$n$ 个向量线性无关” ⇔ “能生成 $V$” ⇔ “是基”（三句等价，同济最爱考）。

踩坑与考试细节

1. det 判奇异是陷阱：见第一章，用 np.linalg.cond。数值上还要注意 det 溢出（大矩阵 det 动辄 $10^{\pm100}$）。
2. **对称矩阵用 eigh 不用 eig**：eig 对浮点误差敏感，可能给出带小虚部的特征值；eigh 利用对称性保证实特征值且更快。
3. 特征向量正交性只在实对称时保证：一般矩阵不同特征值的特征向量线性无关但不正交；考试里”可对角化”≠”可正交对角化”。
4. 矩阵乘法没有交换律、没有消去律：$AB=AC$ 且 $A\ne 0$ 推不出 $B=C$（$A$ 奇异时）；$(AB)^k \ne A^kB^k$。
5. **$|kA| = k^n|A|$**（$n$ 阶），不是 $k|A|$；$|A^{-1}| = 1/|A|$；$|A^T| = |A|$。
6. 秩是贯穿全书的量：把每章定理翻译成秩的语言（解的存在性、相关性、奇异位形、维数定理），考试和工程都会清晰很多。
7. 法方程 vs QR/SVD：任何”$A^TA$ 出现的地方”先警惕条件数平方，标定代码里一律 lstsq/pinv。
8. 齐次变换矩阵求逆用分块公式（$R^T$ 那块），别直接 np.linalg.inv 硬算 4×4——又慢又损失精度，ROS/TF 源码里都是手写分块。

一句话总结：行列式给存在性，秩给结构，特征值给动态，SVD 给数值，基变换给坐标——机器人的每个数学模型最后都落在这五件事上。