线代笔记（自）

线性代数

目录

• 第一章 行列式
• 第二章 矩阵及其运算
• 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
• 第四章 向量组的线性相关性
• 第五章 相似矩阵及二次型
• 第六章 线性空间与线性变换
• 补充：子空间/基扩充/基替换

第一章 行列式

1.0 符号定义

• 或 ：方阵 的行列式。
• ：元素 的余子式。
• ：元素 的代数余子式。
• ： 级置换（全排列）的集合。
• ：排列 的逆序数。

1.1 基本概念

• 定义：把一堆数排成方阵，算出一个最终的“得分”。
• 本质（空间缩放比例）：行列式代表了一个变换对空间的“放大或缩小倍数”。
  • 直观理解：想象你在拉伸一个橡皮筋或者压缩一个气球。
  • 若 ，说明变换后面积/体积翻倍了；
  • 若 ，说明空间被“压扁”了。比如把一个三维的球压成了一个二维的面，或者一根线。一旦压扁，就再也变不回去了（这就是为什么行列式为 0 的矩阵没有逆矩阵）。
• 核心思想：行列式就像是矩阵的“体检报告”，一个数字就能告诉你这个矩阵是否“健康”（是否可逆）。最快的计算方法是把它化成“三角形”，然后把对角线上的数乘起来。

1.2 核心公式与知识点扩写

$$
\begin{aligned}
&\textbf{1. 低阶行列式计算}\
&\textbf{二阶：}\quad

=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.\
&\textbf{三阶（对角线法则）：}\quad

=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}
-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}.\
&\text{\small 知识点：二阶是“主减副”；三阶对角线法则仅限三阶，四阶及以上严禁使用，需用展开或化三角法。}\
&\textbf{2. n 阶行列式定义（Leibniz 公式）}\
&\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)},\qquad
\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^{N(\sigma)}.\
&\text{\small 知识点：行列式是所有取自不同行不同列的 个元素乘积的代数和。符号由列下标排列的逆序数决定。}\
&\textbf{3. 余子式与代数余子式}\
&M_{ij}=\det(A\text{ 去掉第 }i\text{ 行第 }j\text{ 列}),\qquad
A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.\
&\text{\small 知识点：余子式 是划掉{i}行{j}列后的低一阶行列式；代数余子式 额外考虑了位置的正负号。}\
&\textbf{4. Laplace 展开定理}\
&\det(A)=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}
=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}.\
&\text{\small 知识点：行列式等于任一行（或列）元素与其对应代数余子式乘积之和。常用于含零较多的行或列。}\
&\textbf{5. 初等变换对行列式的影响}\
&\
&\textbf{6. 行列式的基本性质}\
&\det(A^\mathsf{T})=\det(A),\qquad
\det(AB)=\det(A)\det(B),\qquad
\det(A^{-1})=\frac1{\det(A)}.\
&\text{\small 知识点：转置值不变说明行列地位对称；乘积的行列式等于行列式的乘积；逆矩阵行列式是原矩阵的倒数。}\
&\textbf{7. 数乘性质}\
&\det(kA)=k^n\det(A).\
&\text{\small 知识点：非常容易出错！矩阵 乘 相当于每一行都乘了 （共 行），所以提出来要带 次方。}\
&\textbf{8. 特殊结构行列式}\
&\text{三角矩阵：}\ \det(A)=\prod_{i=1}^{n}a_{ii}.\
&\text{分块对角/块上（下）三角：}\ \det=\det=\det(A)\det(B).\
&\text{副对角线分块：}\ \det=\det=(-1)^{mn}\det(A)\det(B).\
&\text{\small 知识点：分块对角阵的行列式等于各子块行列式的乘积。注意副对角线分块时，符号修正项为 ，其中 为子块的阶数。}\
&\textbf{9. 伴随矩阵与逆矩阵公式（看完后面的再回来看）}\
&\operatorname{adj}(A)=(A_{ji}){n\times n},\qquad
A,\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A),A=\det(A)I,\qquad
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).\
&\text{\small 知识点：伴随矩阵由代数余子式构成，注意是“行变列”（转置）。这是求逆矩阵的理论核心公式。}\
&\textbf{10. Cramer 法则（克拉默法则）}\
&Ax=b,\ \det(A)\neq0\ \Rightarrow\
x_i=\dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}.\
&\text{\small 知识点：用于解方程组。 是将 的第 列换成常数项 。仅适用于方程数=未知数且 。}\
&\textbf{11. Vandermonde 行列式}\
&\det
=\prod{1\le i<j\le n}(x_j-x_i).\
&\text{\small 知识点：特定结构的行列式，其值由所有变量的差乘积决定。常用于多项式插值等问题。}
\end{aligned}
$$

第二章 矩阵及其运算

2.0 符号定义

• ： 行 列的矩阵。
• ：矩阵 的转置。
• ：矩阵 的逆矩阵。
• 或 ：矩阵 的伴随矩阵。
• 或 ：单位矩阵。
• ：矩阵的迹（主对角线元素之和）。
• ：对角矩阵。

2.1 基本概念

• 定义：一个矩形的数字表格。
• 本质（批量计算器）：矩阵是处理多个变量的“高级函数”。
  • 高中我们学 ，矩阵让我们能同时处理一组 变成一组 。
  • 矩阵乘法 ：相当于“连续操作”。先按 的规则变一下，再按 的规则变一下。
• 运算特性：
  • 顺序很重要：先穿袜子再穿鞋 先穿鞋再穿袜子。所以 。
• 逆矩阵（后悔药）：
  • 直观理解：逆矩阵就是“撤销”操作。如果你用矩阵 把一个图形变了形，用 就能把它变回来。
  • 前提：只有没被“压扁”（行列式不为 0）的矩阵才有逆矩阵。
• 初等矩阵（单步指令）：
  • 它们是矩阵界的“基本动作”，比如“交换两行”或“给某行乘个倍数”。复杂的矩阵运算都可以拆解成这些基本动作。

2.2 核心公式与知识点扩写

$$
\begin{aligned}
&\textbf{1. 矩阵加法与数乘}\
&(A+B){ij}=a{ij}+b_{ij},\qquad
(kA){ij}=ka{ij}.\
&\text{\small 知识点：加法是对应元素相加，数乘是 乘矩阵内每一个元素（注意与行列式提公因子的区别）。}\
&\textbf{2. 矩阵乘法定义}\
&(AB){ij}=\sum{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}\quad
(A\in\mathbb{F}^{n\times m},\ B\in\mathbb{F}^{m\times p}).\
&\text{\small 知识点：结果矩阵的第 行第 列元素，由 的第 行与 的第 列对应元素乘积之和决定。}\
&\textbf{3. 矩阵乘法运算律}\
&A(BC)=(AB)C,\quad
A(B+C)=AB+AC,\quad
(A+B)C=AC+BC.\
&\text{\small 知识点：满足结合律和分配律，但不满足交换律。若 ，不能推导出 或 。}\
&\textbf{4. 矩阵转置及其性质}\
&(A^\mathsf{T})^\mathsf{T}=A,\quad
(A+B)^\mathsf{T}=A^\mathsf{T}+B^\mathsf{T},\quad
(AB)^\mathsf{T}=B^\mathsf{T}A^\mathsf{T},\quad
(kA)^\mathsf{T}=kA^\mathsf{T}.\
&\text{\small 知识点：转置是将行变为列。乘积的转置等于转置的反向乘积（穿脱原则）。}\
&\textbf{5. 对称矩阵与反对称矩阵}\
&\text{对称：}A^\mathsf{T}=A,\qquad
\text{反对称：}A^\mathsf{T}=-A.\
&\text{\small 知识点：对称矩阵关于主对角线对称；反对称矩阵主对角线元素必为 0，且 。}\
&\textbf{6. 单位矩阵与逆矩阵定义}\
&AI=IA=A,\qquad
AA^{-1}=A^{-1}A=I.\
&\text{\small 知识点：单位阵 相当于数乘中的 1；逆矩阵 仅对方阵定义，且要求 。}\
&\textbf{7. 逆矩阵的运算性质}\
&(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},\quad
(A^\mathsf{T})^{-1}=(A^{-1})^\mathsf{T},\quad
(kA)^{-1}=\frac1kA^{-1}\ (k\neq0).\
&\text{\small 知识点：乘积的逆也遵循“穿脱原则”。转置与求逆的顺序可以交换。}\
&\textbf{8. 可逆的等价刻画（看完后面再回来）}\
&A\sim I\ (\text{初等行变换})\ \Longleftrightarrow\ \operatorname{rank}(A)=n\ \Longleftrightarrow\ \det(A)\neq0.\
&\text{\small 知识点：实际计算中，常通过 的初等行变换法求逆。}\
&\textbf{9. 分块矩阵运算}\
&

.\
&\text{\small 知识点：分块矩阵将子块视为元素进行运算，前提是子块间的维数必须匹配。}\
&\textbf{10. 块对角/块三角矩阵及其逆}\
&^{-1}=,\quad
^{-1}=.\
&\text{\small 知识点：块对角阵的逆等于各子块分别求逆；块三角阵的逆仍为块三角阵，注意右上角项的负号与顺序。}\
&\textbf{11. 初等矩阵与行变换}\
&E\ \text{为初等矩阵}\ \Longleftrightarrow\ EA\ \text{等于对 }A\text{ 做一次对应的初等行变换}.\
&\text{\small 知识点：左乘初等矩阵相当于行变换，右乘相当于列变换。初等矩阵均可逆且逆仍为初等矩阵。}\
&\textbf{12. 矩阵多项式}\
&p(A)=\sum_{k=0}^{m}c_kA^k,\quad A^0=I,\quad A^{k+1}=A^kA.\
&\text{\small 知识点：矩阵可以带入多项式，注意常数项 必须乘单位阵 。}
\end{aligned}
$$

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

3.0 符号定义

• ：矩阵 与 等价（通过初等变换转化）。
• 或 ：矩阵的秩。
• ：线性空间的维数（对于方程组，指解空间的维数）。
• ：线性方程组的增广矩阵。
• ：三种初等矩阵。

3.1 基本概念

• 初等变换（消元法）：这就是高中学过的“加减消元法”的矩阵版。通过换行、乘倍数、相加减，把复杂的方程组变简单。
• 矩阵的秩 (Rank)：
  • 直观理解：代表了方程组里“真话”的数量。
  • 有时候你给了 3 个方程，但其中一个是另外两个加出来的（废话），那有效的“真话”就只有 2 句，秩就是 2。
• 满秩与降秩：
  • 满秩：每个人都提供了新信息，没有废话。
  • 降秩：有人在说废话，导致信息重复，方程组就会出现“没法确定唯一答案”的情况。
• 自由变量（随便选的字母）：
  • 当方程不够多（降秩）时，有些变量你就可以随便给它定个值（比如令 ），这些能随便定的变量就是自由变量。
• 解的判定（能不能算出来）：
  • 无解：方程之间打架了（比如算出 ）。
  • 唯一解：信息刚刚好，每个字母都能算出确定的数。
  • 无穷多解：信息不够（降秩了），有些字母可以随便变，导致答案有一大堆。

3.2 核心公式与知识点扩写

第四章 向量组的线性相关性

4.0 符号定义

• ：通常表示列向量。
• ：空间的维数。
• ：由向量组张成的线性空间（线性组合的集合）。
• ：向量组 与 等价（可互相线性表示）。

4.1 基本概念

• 线性组合（拼凑）：用几个向量加加减减、放大缩小，看能不能拼出另一个向量。
• 线性相关与无关（有没有多余的人）：
  • 线性相关：队伍里有“闲人”。即便少了他，剩下的人也能拼出他来。
  • 线性无关：每个人都是不可替代的。少了任何一个，剩下的都没法拼出他。
• 基 (Basis) 与维数 (Dimension)：
  • 基：空间的“最小骨架”。比如在 3D 空间里，你至少需要 3 个不共面的方向（向量）才能走到任何地方。这 3 个方向就是一组基。
  • 维数：就是基里向量的个数。3D 空间的维数就是 3。
• 向量组的秩：这组向量里，到底有几个是“干实事”的（不重复的独立方向）。
• 直观理解：线性代数其实就是在研究：“我手里这几个方向，到底能带我去多大的世界？”（是只能在一条线上走，还是能铺满一个面，还是能占满整个空间）。

4.2 核心公式与知识点扩写

第五章 相似矩阵及二次型

5.0 符号定义

• ：特征值。
• 或 ：特征向量。
• ：矩阵 与 相似。
• ：矩阵 与 合同。
• ：矩阵 正定。
• ：二次型函数。

5.1 基本概念

• 特征值与特征向量（变换中的“不动点”）：
  • 大多数向量在经过矩阵变换后，方向都会乱变。
  • 但总有那么几个神奇的向量，变换后方向竟然没变（或者只是反向了），只是长度变长或变短了。
  • 这些“方向不变”的向量就是特征向量，变长/变短的倍数就是特征值。
  • 直观理解：它们是矩阵变换的“骨架”或“主轴”。
• 相似矩阵（换个视角看世界）：
  • 同一个变换，你站在不同的角度（基）看，写出来的矩阵就不一样。
  • 这些长得不一样但本质是同一个变换的矩阵，就叫相似矩阵。
• 矩阵对角化（最简单的视角）：
  • 既然视角可以换，那我们就换到一个最舒服的角度：让矩阵只有对角线上有数。
  • 这样计算矩阵的 100 次方就跟算普通数字的 100 次方一样简单了。
• 二次型（能量分布）：
  • 比如 是个圆。二次型就是研究这种带平方的式子在空间里长什么样（是圆、椭圆还是双曲线）。
• 正定性（永远为正）：
  • 就像实数里的“正数”。如果一个二次型不管你带入什么数（只要不是全 0），算出来永远大于 0，它就是正定的。这在物理上通常代表“能量永远为正”。

5.2 核心公式与知识点扩写

第六章 线性空间与线性变换

6.0 符号定义

• ：线性空间。
• ： 是 的子空间。
• ：空间的维数。
• ：向量 在基 下的坐标。
• ：从 到 的线性变换。
• ：变换 的核（零空间）。
• ：变换 的像（值域）。

6.1 基本概念

• 线性空间（规则统一的游乐场）：
  • 只要满足“加法”和“数乘”规则的集合都是线性空间。
  • 比如：所有的 2D 向量、所有的多项式、所有的连续函数。
  • 直观理解：只要你在场子里玩，怎么加、怎么翻倍，都不会飞出场外。
• 线性变换（诚实的映射）：
  • 一种保持“线性”的变换。
  • 直观理解：它很诚实，不会把直线变弯，也不会把原点挪走。
• 核 (Kernel) 与像 (Image)：
  • 核：变换后被“变没了”（变成 0）的那些向量。
  • 像：变换后能“到达”的所有地方。
• 维数定理（能量守恒）：
  • 变没了的维度 + 剩下来的维度 = 初始的总维度。
  • 比如你把一个 3D 空间压成了一个 2D 的面，那么“核”的维度就是 1（损失了 1 维），“像”的维度就是 2。。

6.2 核心公式与知识点扩写

$$
\begin{aligned}
&\textbf{1. 线性空间的定义}\
&\forall u,v,w\in V,\ \forall a,b\in\mathbb{F} \implies u+v \in V, \ au \in V \text{ (且满足八条算律)}.\
&\text{\small 知识点：线性空间不仅限于 维向量，多项式、矩阵、连续函数等只要满足运算封闭和算律，都是线性空间。}\
&\textbf{2. 子空间与线性生成}\
&W\subseteq V \text{ 是子空间} \iff \text{对加法和数乘封闭};\quad \operatorname{Span}(S) = { \sum a_i v_i }.\
&\text{\small 知识点：子空间是包含在原空间内的“小”线性空间。 是由集合 线性组合出的最小子空间。}\
&\textbf{3. 基与坐标}\
&x = \sum_{i=1}^{n}\xi_i v_i \iff [x]{\mathcal{B}} = (\xi_1, \dots, \xi_n)^\mathsf{T}.\
&\text{\small 知识点：基是空间的“骨架”，坐标是向量在骨架上的投影。基一旦选定，向量与坐标一一对应。}\
&\textbf{4. 过渡矩阵（换基公式）}\
&[x]{\mathcal{B}’}=T_{\mathcal{B}’\leftarrow\mathcal{B}},[x]{\mathcal{B}},\qquad T{\mathcal{B}’\leftarrow\mathcal{B}} = ([v_1]{\mathcal{B}’}, \dots, [v_n]{\mathcal{B}’}).\
&\text{\small 知识点：过渡矩阵描述了从旧基到新基的转换关系。注意下标顺序：新基向量在旧基下的坐标构成过渡矩阵。}\
&\textbf{5. 线性变换的定义}\
&T(ax+by)=aT(x)+bT(y).\
&\text{\small 知识点：线性变换保持空间的线性结构。原点在变换后依然是原点，直线变换后依然是直线（或点）。}\
&\textbf{6. 核 (Kernel) 与像 (Image)}\
&\operatorname{Ker}(T)={x: T(x)=0},\qquad \operatorname{Im}(T)={T(x)}.\
&\text{\small 知识点：核对应齐次方程组的解空间，像对应矩阵的列空间。核越小，变换越接近单射。}\
&\textbf{7. 维数定理（秩-零度定理）}\
&\dim \operatorname{Ker}(T) + \dim \operatorname{Im}(T) = \dim V.\
&\text{\small 知识点：这是线性变换最重要的定理。它说明了变换的“压缩量”与“保留量”之和等于原空间的维数。}\
&\textbf{8. 线性变换的矩阵表示}\
&[T(x)]{\mathcal{B}W} = A [x]{\mathcal{B}V},\qquad A = ([T(v_1)]{\mathcal{B}W}, \dots, [T(v_n)]{\mathcal{B}W}).\
&\text{\small 知识点：线性变换可以用矩阵乘法来模拟。矩阵的每一列是基向量变换后的坐标。}\
&\textbf{9. 矩阵相似与线性算子}\
&A’ = P^{-1}AP \quad (P \text{ 为过渡矩阵}).\
&\text{\small 知识点：同一个线性算子在不同基下的矩阵是相似的。相似变换本质上就是“换个视角看同一个变换”。}\
&\textbf{10. 坐标变换公式}\
&[x]{\mathcal{B}} = P [x]{\mathcal{B}’} \quad (P \text{ 为从 } \mathcal{B} \text{ 到 } \mathcal{B}’ \text{ 的过渡矩阵}).\
&\text{\small 知识点：注意坐标变换与基变换的方向是相反的。}
\end{aligned}
$$

补充：子空间/基扩充/基替换

$$
\begin{aligned}
&\textbf{基扩充定理（扩充为一组基）：}\quad
{u_1,\dots,u_r}\ \text{线性无关}\ \Rightarrow
\exists,u_{r+1},\dots,u_n:\ (u_1,\dots,u_n)\ \text{是 }V\text{ 的一组基}.\
&\textbf{基的等势性：}\quad
V\ \text{有限维}\ \Rightarrow\ \text{任意两组基所含向量个数相同}=\dim V.\
&\textbf{子空间的维数上界：}\quad
W\le V\ \Rightarrow\ \dim W\le \dim V,\qquad
\dim W=\dim V\ \Rightarrow\ W=V.\
&\textbf{子空间基的扩充：}\quad
W\le V,\ \dim W=r,\ \dim V=n\
&\hspace{6.2em}\Rightarrow
\exists\ \text{基 }\mathcal{B}W=(w_1,\dots,w_r),\
\exists\ v{r+1},\dots,v_n:\ (w_1,\dots,w_r,v_{r+1},\dots,v_n)\ \text{为 }V\text{ 的基}.\
&\textbf{基替换定理（Steinitz 交换引理的常用结论）：}\quad
(v_1,\dots,v_n)\ \text{为 }V\text{ 的基},\
u\in V,\ u\ne 0\
&\hspace{6.2em}\Rightarrow
\exists,j:\ u=\sum_{i=1}^{n}a_i v_i,\ a_j\ne 0,\
(v_1,\dots,v_{j-1},u,v_{j+1},\dots,v_n)\ \text{仍为基}.\
&\textbf{子空间和/交的维数公式（再次强调）：}\quad
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).\
&\textbf{直和判别：}\quad
V=U\oplus W\ \Longleftrightarrow\ V=U+W\ \land\ U\cap W={0}\
&\hspace{6.2em}\Longleftrightarrow\ \dim V=\dim U+\dim W\ \land\ V=U+W.\
&\textbf{和空间的基构造（直和情形）：}\quad
U\cap W={0},\ \mathcal{B}U=(u_1,\dots,u_p),\ \mathcal{B}W=(w_1,\dots,w_q)\
&\hspace{6.2em}\Rightarrow
(u_1,\dots,u_p,w_1,\dots,w_q)\ \text{是 }U\oplus W\text{ 的一组基},\
\dim(U\oplus W)=p+q.\
&\textbf{维数与线性无关/生成（同济常用三句等价）：}\quad
\dim V=n\Rightarrow
\
&\textbf{坐标与过渡矩阵再压缩：}\quad
\mathcal{B},\mathcal{B}’\ \text{为 }V\text{ 两组基},\
[x]{\mathcal{B}’}=T{\mathcal{B}’\leftarrow\mathcal{B}}[x]{\mathcal{B}},\
T{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{B}’}=\big(T_{\mathcal{B}’\leftarrow\mathcal{B}}\big)^{-1}.\
&\textbf{矩阵的列向量与空间维数（极常用）：}\quad
A\in\mathbb{F}^{m\times n},\
\operatorname{Col}(A)=\operatorname{Span}(\text{列向量}),\
\dim\operatorname{Col}(A)=\operatorname{rank}(A).\
&\textbf{零空间维数（再压缩）：}\quad
\operatorname{Null}(A)={x:Ax=0},\qquad
\dim\operatorname{Null}(A)=n-\operatorname{rank}(A).\
&\textbf{线性变换的秩与零度：}\quad
T:V\to W,\
\operatorname{rank}(T):=\dim\operatorname{Im}(T),\
\operatorname{nullity}(T):=\dim\operatorname{Ker}(T),\
&\hspace{6.2em}
\dim V=\operatorname{rank}(T)+\operatorname{nullity}(T).\
&\textbf{线性变换的矩阵秩：}\quad
A=[T]_{\mathcal{B}_W\leftarrow\mathcal{B}_V}
\Rightarrow
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(T)=\dim\operatorname{Im}(T),\quad
\dim\operatorname{Ker}(T)=n-\operatorname{rank}(A).
\end{aligned}
$$